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文 | 阎赫
旅行箱和生命体
旅行往往是令人愉快的，但将所需携带的物品装箱却常常令人抓狂。就一些人而言，如何把众多的物品最大限度地放入旅行箱绝对是门手艺，因为胡乱地塞入和整齐有序地码放在空间利用率上有着巨大的差异。
当然也有许多人在这方面游刃有余，那么如果难度增加，将这些物品放置在一个不规则的容器内呢？而且如果容器内部的物品会生长呢？即便容器也会随之生长，但怎么才能一直保证空间利用率的最大呢？
这一非常复杂的问题大部分的动植物天生就会解决，包括你我。而且是以相同的最优方式。下面的一组数字，相信可以体现出将生命器官装入身体的难度。人类的身高一般在1.5米-1.8米，但肠子的长度为6.5-8.5米，成人头部的大小众所周知，但大脑皮层展开在0.22平方米左右，血管最是惊人，其总长约为10万公里（假如连接起来可以绕地球两圈）。
这是如何做到的呢？答案是分形。分形是20世纪系统科学提出的一个重要概念， 它可以对d维的几何体施加最大化的褶皱和扭曲而得到d + 1维的几何体。例如褶皱的大脑皮层，以及扭曲缠绕的大肠。1999年，韦斯特、布朗和恩逵斯特（Brian J. Enquist）等人在《科学》杂志上发表论文更详细地表述了如何从分形几何的观点来解释克莱伯法则。
他们认为生物体的表面实际上有两种，一种是我们能看到的外表面，就像动物的皮肤、毛发。这层表面是一种欧氏曲面，满足同速标度律。另外一种表面则是生物体的内表面，例如血管、肠、脑皮层等，它们是分形几何体，展现出异速标度的性质。大自然进化已使得内表面的褶皱、扭曲达到了最大化的程度，生物体的内表面填充了三维空间，因此这些面的维度是3而不是2。
而生物体内的特征长度，例如从根到叶的距离，从心脏到某一个细胞的血液输运距离等都是常规的欧氏长度，于是由3维表面和1维长度乘积得到的内部体积（例如整个大肠的体积、血管的体积等）就是4维几何体了。这便自然得到了克莱伯法则。所以，韦斯特等人的结论就是，生命中那隐藏在三维空间中的第四维恰恰正是通过生物体内表面的褶皱分形而得到的。
什么是WBE模型？
更进一步，生物体的奇妙并不仅仅在于最大限度地利用了空间，还在于同时保证了生物体内的器官能正常地生长工作。比如大肠可以吸收营养，血管可以输送血液。就此上面提到的三位科学家还建立了一个神奇的模型-WBE模型（WBE即 West&Brown&Enquist的首字母组合）。
他们的出发点就是那些生命体中无处不在的输运网络：血管、经脉、微管等。
我们知道，动物体内存在着血管网络，从心脏泵出的血液被这些网络输运到身体的各个细胞之中；植物体体内也存在着类似的分形输运网络，它们把养料从根部吸入，并通过植物维管系统（plant vascular system）输运到植物体的枝枝叶叶；甚至连一个单细胞内部都布满了这样的分形网络：微管。
韦斯特等人通过反复地观察、揣摩，发现也许所有这些网络可能都遵循三条基本假设：
1. 该分形网络是空间填充的，即树状分叉将生物体的整个空间填满；
2. 分叉的最小单元是不随着生物体的个头大小(M )而变化的；
3. 该分形网络是一种最优化的网络，也就是说，输运营养物质所消耗的能量会最少。
当我们欣赏大自然中的各种树木的时候（尤其是在冬天它们的叶子都掉光的时候）就会发现，其实树的枝杈所充斥的空间是空心的，但当树枝分叉得足够多足够密的时候，它就会把整个枝杈空间“填满”。这种填满的意思是说，当我们从很远的地方观察树的时候，会发现空隙就不明显了，因而形成了一个密闭的“表观体积”，这就是第一条假设。
第二条假设是说，无论是大象还是老鼠，它们体内分叉网络的末梢是同样大小的。如果我们把这最小的分叉末梢粗略地理解为细胞，那么老鼠和大象的体细胞大小的确是几乎相同的。
第三条假说则是基于进化论思想，即生物体的分形输运网络已经被大自然进化最优化了——它能够最小化输运所耗费的能量，这是因为不能优化能量耗散的生物体 早已经被自然选择淘汰了。这三条假说可谓是字字珠玑，它们简单而深刻地刻画了生物体内分形输运网络的主要特征。
根据上述这三条假说，韦斯特等人模仿设计了一个分型的输运网络。假设网络由若干段水管相互连接而形成，并设该网络从一条最粗的主干开始不断地分叉，并且每次分叉都具有相同的分叉数n。
上述三条假设可以转化为如下两条约束条件：在分叉的过程中要保持总的横截面积不变（这就要求每次分叉两个层次之间横截面半径之比要正比于n^(−1/2)，以及每层分叉所占的“表观”体积不变，这就要求每次分叉，上级和下级水管的长度之比要正 比于n^(−1/3)。
这样的话，无论是水管的长度还是截面积还是每一层水管的数量都会随着层数的增加而构成等比序列，营养物质会顺着网络从根部（第一级水管）流入，然后一层一层地流向各个分支水管，并从最后一层流出以滋养各个细胞，那么生物体的新陈代谢F就正比于每一层的总横截面积（由于整个网络横截面积守恒，因此流入任意层的流量都相同）。
同时，系统的总体重M就正比于整个网络中的物质存量。一旦n固定下来，那么网络就会随着分叉的最大层级L的增大而增大，但是无论怎么变化，F 都会随着M呈现出F = cM^(3/4)的规律。因此，我们可以得到克莱伯法则。
由此可见分形，克莱伯法则是如此神奇，那么它们是否能应用在其它方面？既然它可以使空间获得最优，输运获得最优，那么在时间上呢？能否通过分形让生命所能容纳的时间获得最优？能否参考输运网络让注意力和精力都最为合理的分配？更多的问题留给大家思考，欢迎大家在留言区讨论！
作者：hehe
编辑：孟婕
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